Код с проверкой на четность. Такой код образуется путем добавления к передаваемой комбинации, состоящей из m информационных символов, одного контрольного символа k (0 или 1) так, чтобы общее число единиц в передаваемой комбинации было четным.
Если получено слово с нечётным количеством единичек, то при передаче произошла ошибка.
Например, для кода с m = 5 и вероятностью ошибки p = 10-2 коэффициент обнаружения составит Kобн = 0,9. То есть обнаруживаем 90 % ошибок, при этом избыточность будет составлять L = 0,17 (17 %).
Код с постоянным весом. Этот код содержит постоянное число единиц и нулей. Для примера приведены коды с двумя единицами из пяти и тремя единицами из семи.
Число кодовых комбинаций составит:
Этот код позволяет обнаруживать любые одиночные ошибки и часть многократных ошибок. Не обнаруживаются этим кодом только ошибки смещения, когда одновременно одна единица переходит в ноль и один ноль переходит в единицу, два ноля и две единицы меняются на обратные символы и т.д.
Для кода С73 при p = 10-2 коэффициент обнаружения составит Kобн = 0,985, избыточность составляет L = 27%.
Корреляционный код (Код с удвоением). Элементы данного кода заменяются двумя символами, единица «1» преобразуется в 10, а ноль «0» в 01.
Вместо комбинации 1010011 передается 10011001011010. Ошибка обнаруживается в том случае, если в парных элементах будут одинаковые символы 00 или 11 (вместо 01 и 10).
Например, при m = 5, n = 10 и вероятности ошибки p = 10-2, Kобн = 0,995. Но при этом избыточность будет составлять 50%.
Инверсный код. К исходной комбинации добавляется такая же комбинация по длине, т. е. число символов удваивается. Если в исходной комбинации четное число единиц, то добавляемая комбинация повторяет исходную комбинацию, если нечетное, то добавляемая комбинация является инверсной по отношению к исходной.
Прием инверсного кода осуществляется в два этапа. На первом этапе суммируются единицы в первой основной группе символов. Если число единиц четное, то контрольные символы принимаются без изменения, если нечетное, то контрольные символы инвертируются. На втором этапе контрольные символы суммируются с информационными символами по модулю два. Нулевая сумма говорит об отсутствии ошибок. При ненулевой сумме, принятая комбинация бракуется. Покажем суммирование для принятых комбинаций без ошибок (1, 3) и с ошибками (2, 4):
Данный код обнаруживает практически любые ошибки, кроме редких ошибок смещения, которые одновременно происходят как среди информационных символов, так и среди соответствующих контрольных.
При m = 5, n = 10 и p = 10-2, Kобн = 1 · 10-5.
Коды с обнаружением
ошибок
Такой
код образуется путем добавления к
передаваемой комбинации, состоящей из k
информационных символов, одного
контрольного символа (0 или 1), так, чтобы
общее число единиц в передаваемой
комбинации было четным.
.
Построим коды для проверки на четность, где
Определим, каковы обнаруживающие свойства
этого кода. Вероятность
обнаружения ошибок будет равна
Так как вероятность ошибок
является
весьма малой величиной, то можно
ограничится
Вероятность
появления всевозможных ошибок, как
обнаруживаемых так и не обнаруживаемых,
равна –
вероятность отсутствия искажений в кодовой
комбинации. Тогда
При
передаче большого количества кодовых
комбинаций
, число кодовых
комбинаций, в которых ошибки
обнаруживаются, равно:
Общее
количество комбинаций с обнаруживаемыми и
не обнаруживаемыми ошибками равно
для кода с четной защитой будет равен
Например,
для кода с =5
и вероятностью ошибки
. То есть 90% ошибок
обнаруживаем, при этом избыточность будет
составлять
2.
Код с
постоянным весом.
Этот
код содержит постоянное число единиц и
нулей. Число кодовых комбинаций составит
Пример 5.2. Коды с двумя единицами из пяти и
тремя единицами из семи.
Этот код позволяет обнаруживать любые
одиночные ошибки и часть многократных
ошибок. Не обнаруживаются этим кодом только
ошибки смещения, когда одновременно одна
единица переходит в ноль и один ноль
переходит в единицу, два ноля и две единицы
меняются на обратные символы и т.д.
Рассмотрим
код с тремя единицами из семи. Для этого
кода возможны смещения трех типов.
Вероятность появления
не обнаруживаемых ошибок смещения
Вероятность
появления всевозможных ошибок как
обнаруживаемых, так и не обнаруживаемых
будет составлять
. Тогда
коэффициент обнаружения будет равен
3.
Корреляционный код
(Код с удвоением). Элементы
данного кода заменяются двумя символами,
единица ‘1’ преобразуется в 10, а ноль ‘0’ в
01.
Вместо комбинации 1010011
передается 10011001011010.
Ошибка обнаруживается в том случае, если в
парных элементах будут одинаковые символы
00 или 11 (вместо 01 и 10).
=10
и вероятности ошибки
.
Но при этом избыточность будет
составлять 50%.
К
исходной комбинации добавляется такая же
комбинация по длине. В линию посылается
удвоенное число символов. Если в исходной
комбинации четное число единиц, то
добавляемая комбинация повторяет исходную
комбинацию, если нечетное, то добавляемая
комбинация является инверсной по отношению
к исходной.
Прием
инверсного кода осуществляется в два этапа.
На первом этапе суммируются единицы в
первой основной группе символов. Если число
единиц четное, то контрольные символы
принимаются без изменения, если нечетное,
то контрольные символы инвертируются. На
втором этапе контрольные символы
суммируются с информационными символами по
модулю два. Нулевая сумма говорит об
отсутствии ошибок. При ненулевой сумме,
принятая комбинация бракуется. Покажем
суммирование для принятых комбинаций без
ошибок (1,3) и с ошибками (2,4).
Обнаруживающие способности
данного кода достаточно велики. Данный код
обнаруживает практически любые ошибки,
кроме редких ошибок смещения, которые
одновременно происходят как среди
информационных символов, так и среди
соответствующих контрольных. Например, при =5, =10
и . Коэффициент обнаружения будет
составлять .
Код Грея используется для
преобразования угла поворота тела вращения
в код. Принцип
работы можно представить по рис.5.2. На
пластине, которая вращается на
валу, сделаны отверстия, через
которые может
проходить свет.
Причём, диск разбит
на сектора, в
которых и
сделаны эти
отверстия. При вращении, свет
проходит через
них, что приводит
к срабатыванию фотоприёмников. При
снятии информации в виде двоичных кодов
может произойти существенная ошибка.
Например, возьмем две соседние цифры 7 и 8.
Двоичные коды этих цифр отличаются во всех
разрядах.
Если ошибка произойдет в старшем разряде,
то это приведет к максимальной ошибке, на 3600.
А код Грея,
это такой код в котором все соседние
комбинации отличаются только одним
символом, поэтому при переходе от
изображения одного числа к изображению
соседнего происходит изменение только на
единицу младшего разряда. Ошибка будет
минимальной.
Рис.5.2. Схема съема
информации угла поворота вала в код
Код Грея
записывается следующим образом
Разряды
в коде Грея не имеют постоянного веса. Вес разряда
определяется следующим образом
При этом все нечетные
единицы, считая слева направо, имеют
положительный вес, а все четные единицы
отрицательный.
Непостоянство
весов разрядов затрудняет выполнение
арифметических операций в коде Грея,
поэтому необходимо уметь делать перевод
кода Грея в обычный двоичный код и наоборот.
Алгоритм перевода чисел можно представить
следующим образом.
Пусть
— двоичный код,
— код Грея
Тогда
переход из двоичного кода
в код Грея выполнится
по следующему алгоритму
Обратный переход из кода Грея в
двоичный код
Примеры построения кода с проверкой на чётность;
Пятиразрядный код с двумя единицами и пример семиразрядного кода с тремя единицами
Правильность принятых кодовых комбинаций в кодах определяется путем подсчета количества единиц, и если, например, в коде С52приняты не две единицы, а в коде С73 – не три единицы, то в передаче произошла ошибка.
Код С73может обнаружить все одиночные ошибки, так как при этом в комбинации будет либо две единицы, либо четыре. Кроме того, он позволяет обнаружить часть многократных ошибок (двойные, тройные и т.п.), за исключением случаев, когда одна из единиц переходит в нуль, а один из нулей – в единицу (такое двойное искажение называется смещением). При смещениях искажение также не обнаруживается.
Все сказанное справедливо и для кода С52.
4.6.1.2. Распределительный код
Распределительным называется код Cn1 с одной единицей в кодовой комбинации.Это разновидность кода с постоянным весом, равным единице. В любой кодовой комбинации длиной п содержится только одна единица. Число кодовых комбинаций в распределительном коде
Кодовые комбинации при n=6 можно записать в виде 000001, 000010, 000100, 001000, 010000, 100000. Сложение по модулю 2двух комбинаций показывает, что они отличаются друг от друга на кодовое расстояние d = 2.
4.6.2. Коды, построенные добавлением контрольных разрядов
Для построения этих кодов также используется двоичный код на все сочетания. Он образует информационную часть полной кодовой комбинации корректирующего кода, к которой добавляются контрольные разряды, формируемые по определённому правилу.
4.6.2.1. Код с проверкой на чётность
Такой код образуется путем добавления к передаваемой комбинации, состоящей из k информационных символов неизбыточного кода, одного контрольного символа т (0 или 1) так, чтобы общее число единиц в передаваемой комбинации было чётным. Таким образом, общее число символов в передаваемой комбинации n = k + 1, так как т=1. Примеры построения кода с проверкой на чётность приведены в табл. 4.10.
В приведённых примерах длина исходной кодовой комбинации k=5, это позволяет передать N=25=32 кодовые комбинации. Хотя приписывание контрольного символа и увеличивает разрядность кода до n=6, число комбинаций корректирующего кода остается прежним. Поэтому общее число информационных комбинаций N = 2n-1.
Таким образом, этот код обладает избыточностью, так как вместо N=26=64 комбинаций можно применять только N=26-1=32 комбинации.
Мера избыточности определяется отношением числа контрольных символов т к длине слова:
И=(n – k)/n=m/n.
Для пятиразрядного кода с проверкой на чётность избыточность И =1/6. Очевидно, чем длиннее кодовая комбинация, тем меньше избыточность и больше экономичность кода. Добавление контрольного символа увеличивает кодовое расстояние в передаваемых комбинациях от dmin = 1 до dmin = 2.
Декодирование кода заключается в том, что на приёмной стороне производят так называемую проверку на чётность. В принятых комбинациях подсчитывают количество единиц: если оно чётное, считают, что искажений не было. Тогда последний контрольный символ отбрасывают и записывают информационную комбинацию. Очевидно, чётное число искажений такой код обнаружить не может, так как число единиц при этом снова будет чётным. В то же время этот код способен обнаружить не только одиночные, но и тройные, пятерные и т.п. ошибки, т.е. любое возможное нечётное число ошибок, так как сумма единиц в принятой кодовой комбинации становится нечётной.
В случае если велика вероятность появления многократных ошибок, код использовать нецелесообразно.
По изложенному принципу строится код с проверкой на нечётность, который также широко применяется в телемеханике.
4.6.2.2. Код с числом единиц, кратным трём
7.1. Классификация корректирующих кодов
7.2. Принципы помехоустойчивого кодирования
7.3. Систематические коды
7.4. Код с четным числом единиц. Инверсионный код
7.5. Коды Хэмминга
7.6. Циклические коды
7.7. Коды с постоянным весом
7.8. Непрерывные коды
Классификация корректирующих кодов
В каналах с помехами эффективным средством повышения достоверности передачи сообщений является помехоустойчивое кодирование. Оно основано на применении специальных кодов, которые корректируют ошибки, вызванные действием помех. Код называется корректирующим, если он позволяет обнаруживать или обнаруживать и исправлять ошибки при приеме сообщений. Код, посредством которого только обнаруживаются ошибки, носит название обнаруживающего кода. Исправление ошибки при таком кодировании обычно производится путем повторения искаженных сообщений. Запрос о повторении передается по каналу обратной связи. Код, исправляющий обнаруженные ошибки, называется исправляющим, кодом. В этом случае фиксируется не только сам факт наличия ошибок, но и устанавливается, какие кодовые символы приняты ошибочно, что позволяет их исправить без повторной передачи. Известны также коды, в которых исправляется только часть обнаруженных ошибок, а остальные ошибочные комбинации передаются повторно.
Для того чтобы «од обладал корректирующими способностями, в кодовой последовательности должны содержаться дополнительные (избыточные) символы, предназначенные для корректирования ошибок. Чем больше избыточность кода, тем выше его корректирующая способность.
Помехоустойчивые коды могут быть построены с любым основанием. Ниже рассматриваются только двоичные коды, теория которых разработана наиболее полно.
Все известные в настоящее время коды могут быть разделены
на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочные коды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символов разделена на блоки операции кодирования и декодирования в каждом блоке производятся отдельно. Отличительной особенностью непрерывных кодов является то, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. Здесь процессы кодирования и декодирования не требуют деления кодовых символов на блоки.
Рис. 7.1. Классификация корректирующих кодов
Разновидностями как блочных, так и непрерывных кодов являются разделимые и неразделимые коды. В разделимых кодах всегда можно выделить информационные символы, содержащие передаваемую информацию, и контрольные (проверочные) символы, которые являются избыточными и служат ‘исключительно для коррекции ошибок. В неразделимых кодах такое разделение символов провести невозможно.
Наиболее многочисленный класс разделимых кодов составляют линейные коды. Основная их особенность состоит в том, что контрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.
Принципы помехоустойчивого кодирования
В теории помехоустойчивого кодирования важным является вопрос об использовании избыточности для корректирования возникающих при передаче ошибок. Здесь удобно рассмотреть блочные моды, в которых всегда имеется возможность выделить отдельные кодовые комбинации. Напомним, что для равномерных кодов, которые в дальнейшем только и будут изучаться, число возможных комбинаций равно M=2n, где п — значность кода. В обычном некорректирующем коде без избыточности, например в коде Бодо, число комбинаций М выбирается равным числу сообщений алфавита источника М0и все комбинации используются для передачи информации. Корректирующие коды строятся так, чтобы число комбинаций М превышало число сообщений источника М0. Однако в.этом случае лишь М0комбинаций из общего числа используется для передачи информации. Эти комбинации называются разрешенными, а остальные М—М0комбинаций носят название запрещенных. На приемном конце в декодирующем устройстве известно, какие комбинации являются разрешенными и какие запрещенными. Поэтому если переданная разрешенная комбинация в результате ошибки преобразуется в некоторую запрещенную комбинацию, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условиях исправлена. Естественно, что ошибки, приводящие к образованию другой разрешенной комбинации, не обнаруживаются.
между двумя комбинациями
Для любого кода d. Минимальное расстояние между разрешенными комбинациями ,в данном коде называется кодовым расстоянием d.
Расстояние между комбинациями
условно обозначено на рис. 7.2а, где показаны промежуточные комбинации, отличающиеся друг от друга одним символом. B общем случае некоторая пара разрешенных комбинаций
, разделенных кодовым расстоянием d, изображается на прямой рис. 7.2б, где точками указаны запрещенные комбинации. Для того чтобы в результате ошибки комбинация
преобразовалась в другую разрешенную комбинацию
Рис. 7.2. Геометрическое представление разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций
При искажении меньшего числа символов комбинация
перейдет в запрещенную комбинацию и ошибка будет обнаружена. Отсюда следует, что ошибка всегда обнаруживается, если ее кратность, т. е. число искаженных символов в кодовой комбинации,
Процедура исправления ошибок в процессе декодирования сводится к определению переданной комбинации по известной принятой. Расстояние между переданной разрешенной комбинацией и принятой запрещенной комбинацией d0 равно кратности ошибок g. Если ошибки в символах комбинации происходят независимо относительно друг друга, то вероятность искажения некоторых g символов в n-значной комбинации будет равна:
— вероятность искажения одного символа. Так как обычно
<<1, то вероятность многократных ошибок уменьшается с увеличением их кратности, при этом более вероятны меньшие расстояния d0. В этих условиях исправление ошибок может производиться по следующему правилу. Если принята запрещенная комбинация, то считается переданной ближайшая разрешенная комбинация. Например, пусть образовалась запрещенная комбинация
(см.рис.7.2б), тогда принимается решение, что была передана комбинация
. Это .правило декодирования для указанного распределения ошибок является оптимальным, так как оно обеспечивает исправление максимального числа ошибок. Напомним, что аналогичное правило используется в теории потенциальной помехоустойчивости при оптимальном приеме дискретных сигналов, когда решение сводится к выбору того переданного сигнала, который ib наименьшей степени отличается от принятого. Нетрудно определить, что при таком правиле декодирования будут исправлены все ошибки кратности
исправляются, а ошибки, кратность которых лежит в пределах
только обнаруживаются. Что касается ошибок, кратность которых сосредоточена в пределах
Существуют двоичные системы связи, в которых решающее устройство выдает, кроме обычных символов 0 и 1, еще так называемый символ стирания
. Этот символ соответствует приему сомнительных сигналов, когда затруднительно принять определенное решение в отношении того, какой из символов 0 или 1 был передан. Принятый символ в этом случае стирается. Однако при использовании корректирующего кода возможно восстановление стертых символов. Если в кодовой комбинации число символов
а остальные символы приняты без ошибок, то такая комбинация полностью восстанавливается. Действительно, для восстановления всех символов
необходимо перебрать всевозможные сочетания из gc символов типа 0 и 1. Естественно, что все эти сочетания, за исключением одного, будут неверными. Но так как в неправильных сочетаниях кратность ошибок
, то при восстановлении окажется несколько разрешенных комбинаций, что не позволит принять однозначное решение.
Таким образом, при фиксированном кодовом расстоянии максимально возможная кратность корректируемых ошибок достигается в кодах, которые обнаруживают ошибки или .восстанавливают стертые символы. Исправление ошибок представляет собой более трудную задачу, практическое решение которой сопряжено с усложнением кодирующих и декодирующих устройств. Поэтому исправляющие «оды обычно используются для корректирования ошибок малой кратности.
Корректирующая способность кода возрастает с увеличением d. При фиксированном числе разрешенных комбинаций Мувеличение d возможно лишь за счет роста количества запрещенных комбинаций:
что, в свою очередь, требует избыточного числа символов r=n—k, где k — количество символов в комбинации кода без избыточности. Можно ввести понятие избыточности кода и количественно определить ее по аналогии с (6.12) как
При независимых ошибках вероятность определенного сочетания g ошибочных символов в n-значной кодовой комбинации выражается ф-лой ((7.2), а количество всевозможных сочетаний g ошибочных символов в комбинации зависит от ее длины и определяется известной формулой числа сочетаний
Отсюда полная вероятность ошибки кратности g, учитывающая все сочетания ошибочных символов, равняется:
Используя (7.7), можно записать формулы, определяющие вероятность отсутствия ошибок в кодовой комбинации, т. е. вероятность правильного приема
и вероятность правильного корректирования ошибок
Здесь суммирование ‘Производится по всем значениям кратности ошибок g, которые обнаруживаются и исправляются. Таким образом, вероятность некорректируемых ошибок равна:
Анализ ф-лы (7.8) показывает, что при малой величине Р0и сравнительно небольших значениях п наиболее вероятны ошибки малой кратности, которые и необходимо корректировать в первую очередь.
. Целесообразность применения того или иного кода зависит также от сложности кодирующих и декодирующих устройств, которая, в свою очередь, зависит от п. Во многих практических случаях эта сторона вопроса является решающей. Часто, например, используются коды с большой избыточностью, но обладающие простыми правилами кодирования и декодирования.
В соответствии с общим принципом корректирования ошибок, основанным на использовании разрешенных и запрещенных комбинаций, необходимо сравнивать принятую комбинацию со всеми комбинациями данного кода. В результате М сопоставлений и принимается решение о переданной комбинации. Этот способ декодирования логически является наиболее простым, однако он требует сложных устройств, так как в них должны запоминаться все М комбинаций кода. Поэтому на практике чаще всего используются коды, которые позволяют с помощью ограниченного числа преобразований принятых кодовых символов извлечь из них всю информацию о корректируемых ошибках. Изучению таких кодов и посвящены последующие разделы.
Систематические коды
Изучение конкретных способов помехоустойчивого кодирования начнем с систематических кодов, которые в соответствии с классификацией (рис. 7.1) относятся к блочным разделимым кодам, т. е. к кодам, где операции кодирования осуществляются независимо в пределах каждой комбинации, состоящей из информационных и контрольных символов.
Остановимся кратко на общих принципах построения систематических кодов. Если обозначить информационные символы буквами с, а контрольные — буквами е, то любую кодовую комбинацию, содержащую k информационных и r контрольных символов, можно представить последовательностью:
, где с и е в двоичном коде принимают значения 0 или 1.
Процесс кодирования на передающем конце сводится к образованию контрольных символов, которые выражаются в виде линейной функции информационных символов:
— коэффициенты, равные 0 или 1, а
— знаки суммирования по модулю два. Значения
выбираются по определенным правилам, установленным для данного вида кода. Иными словами, символы е представляют собой суммы по модулю два информационных символов в различных сочетаниях. Процедура декодирования принятых комбинаций может осуществляться различными” методами. Один из них, так называемый метод контрольных чисел, состоит в следующем. Из информационных символов принятой кодовой комбинации
образуется по правилу (7.9) вторая группа контрольных символов
Затем производится сравнение обеих групп контрольных символов путем их суммирования по модулю два:
Полученное число X называется контрольным числом или синдромом. С его помощью можно обнаружить или исправить часть ошибок. Если ошибки в принятой комбинации отсутствуют, то все суммы
, а следовательно, и контрольное число X будут равны .нулю. При появлении ошибок некоторые значения х могут оказаться равным 1. В этом случае
, что и позволяет обнаружить ошибки. Таким образом, контрольное число Х определяется путем r проверок на четность.
Для исправления ошибок знание одного факта их возникновения является недостаточным. Необходимо указать номер ошибочно принятых символов. С этой целью каждому сочетанию исправляемых ошибок в комбинации присваивается одно из контрольных чисел, что позволяет по известному контрольному числу определить место положения ошибок и исправить их.
Контрольное число X записывается в двоичной системе, поэтому общее количество различных контрольных чисел, отличающихся от нуля, равно
. Очевидно, это количество должно быть не меньше числа различных сочетаний ошибочных символов, подлежащих исправлению. Например, если код предназначен для исправления одиночных ошибок, то число различных вариантов таких ошибок равно
. В этом случае должно выполняться условие
Формула (7.11) позволяет при заданном количестве информационных символов k определить необходимое число контрольных символов r, с помощью которых исправляются все одиночные ошибки.
Код с чётным числом единиц. Инверсионный код
Рассмотрим некоторые простейшие систематические коды, применяемые только для обнаружения ошибок. Одним из кодов подобного типа является код с четным числом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит, помимо информационных символов, один контрольный символ, выбираемый равным 0 или 1 так, чтобы сумма единиц в комбинации всегда была четной. Примером могут служить пятизначные комбинации кода Бодо, к которым добавляется шестой контрольный символ: 10101,1 и 01100,0. Правило вычисления контрольного символа можно выразить на
основании (7.9) в следующей форме:
. Отсюда вытекает, что для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю (
— суммирование по модулю):
Это позволяет в декодирующем устройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки на четность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных, трехкратных и в общем, случае ошибок нечетной кратности, что и дает возможность их обнаружить. Появление четных ошибок не изменяет четности суммы (7.12), поэтому такие ошибки не обнаруживаются. На основании ,(7.8) вероятность необнаруженной ошибки равна:
К достоинствам кода следует отнести простоту кодирующих и декодирующих устройств, а также малую .избыточность
, однако последнее определяет и его основной недостаток — сравнительно низкую корректирующую способность.
Значительно лучшими корректирующими способностями обладает инверсный код, который также применяется только для обнаружения ошибок. С принципом построения такого кода удобно ознакомиться на примере двух комбинаций: 11000, 11000 и 01101, 10010. В каждой комбинации символы до запятой являются информационными, а последующие — контрольными. Если количество единиц в информационных символах четное, т. е. сумма этих
равна нулю, то контрольные символы представляют собой простое повторение информационных. В противном случае, когда число единиц нечетное и сумма (7.13) равна 1, контрольные символы получаются из информационных посредством инвертирования, т. е. путем замены всех 0 на 1, а 1 на 0. Математическая форма записи образования контрольных символов имеет вид
. При декодировании происходит сравнение принятых информационных и контрольных символов. Если сумма единиц в принятых информационных символах четная, т. е.
=1, происходит такое же суммирование, но с инвертированными контрольными символами. Другими словами, в соответствии с (7.10) производится r проверок на четность:
Анализ показывает, что при
Инверсный код обладает высокой обнаруживающей способностью, однако она достигается ценой сравнительно большой избыточности, которая, как нетрудно определить, составляет величину
Коды Хэмминга
К этому типу кодов обычно относят систематические коды с расстоянием d=3, которые позволяют исправить все одиночные ошибки (7.3).
Рассмотрим построение семизначного кода Хэмминга, каждая комбинация которого содержит четыре информационных и триконтрольных символа. Такой код, условно обозначаемый (7.4), удовлетворяет неравенству (7.11) и имеет избыточность
Если информационные символы с занимают в комбинация первые четыре места, то последующие три контрольных символа образуются по общему правилу (7.9) как суммы:
Декодирование осуществляется путем трех проверок на четность (7.10):
Так как х равно 0 или 1, то всего может быть восемь контрольных чисел Х=х1х2х3: 000, 100, 010, 001, 011, 101, 110 и 111. Первое из них имеет место в случае правильного приема, а остальные семь появляются при наличии искажений и должны использоваться для определения местоположения одиночной ошибки в семизначной комбинации. Выясним, каким образом устанавливается взаимосвязь между контрольными числами я искаженными символами. Если искажен один из контрольных символов:
Порядок присвоения контрольных чисел ошибочным информационным символам может устанавливаться любой, например, как показано в табл. 7.1. Нетрудно показать, что этому распределению контрольных чисел соответствуют коэффициенты
Если подставить коэффициенты
При искажении одного из информационных символов становятся равными единице те суммы х, в которые входит этот символ. Легко проверить, что получающееся в этом случае контрольное число
согласуется с табл. 7.1.Нетрудно заметить, что первые четыре контрольные числа табл. 7.1 совпадают со столбцами табл. 7.2. Это свойство дает возможность при выбранном распределении контрольных чисел составить таблицу коэффициентов
. Таким образом, при одиночной ошибке можно вычислить контрольное число, позволяющее по табл. 7.1 определить тот символ кодовой комбинации, который претерпел искажения. Исправление искаженного символа двоичной системы состоит в простой замене 0 на 1 или 1 на 0. B качестве примера рассмотрим передачу комбинации, в которой информационными символами являются
Передаваемая комбинация при этом будет
Вычисленное таким образом контрольное число
Здесь был рассмотрен простейший способ построения и декодирования кодовых комбинаций, в которых первые места отводились информационным символам, а соответствие между контрольными числами и ошибками определялось таблице. Вместе с тем существует более изящный метод отыскания одиночных ошибок, предложенный впервые самим Хэммингом. При этом методе код строится так, что контрольное число в двоичной системе счисления сразу указывает номер искаженного символа. Правда, в этом случае контрольные символы необходимо располагать среди информационных, что усложняет процесс кодирования. Для кода (7.4) символы в комбинации должны размещаться в следующем порядке:
Так, если произошла ошибка в информационном символе с’5 то контрольное число
, что соответствует числу 5 в двоичной системе.
В заключение отметим, что в коде (7.4) при появлении многократных ошибок контрольное число также может отличаться от нуля. Однако декодирование в этом случае будет проведено неправильно, так как оно рассчитано на исправление лишь одиночных ошибок.
Циклические коды
Важное место среди систематических кодов занимают циклические коды. Свойство цикличности состоит в том, что циклическая перестановка всех символов кодовой комбинации
дает другую комбинацию
также принадлежащую этому коду. При такой перестановке символы кодовой комбинации перемещаются слева направо на одну позицию, причем крайний правый символ переносится на место крайнего левого символа. Например,
Комбинации циклического кода, выражаемые двоичными числами, для удобства преобразований обычно определяют в виде полиномов, коэффициенты которых равны 0 или 1. Примером этому может служить следующая запись:
Помимо цикличности, кодовые комбинации обладают другим важным свойством. Если их представить в виде полиномов, то все они делятся без остатка на так называемый порождающий полином G(z) степени
, где k-значность первичного кода без избыточности, а п-значность циклического кода
Построение комбинаций циклических кодов возможно путем умножения комбинации первичного кода A*(z) ,на порождающий полином G(z):
Умножение производится по модулю zn и в данном случае сводится к умножению по обычным правилам с приведением подобных членов по модулю два.
В полученной таким способом комбинации A(z) в явном виде не содержатся информационные символы, однако они всегда могут быть выделены в результате обратной операции: деления A(z) на G(z).
Другой способ кодирования, позволяющий представить кодовую комбинацию в виде информационных и контрольных символов, заключается в следующем. К комбинации первичного кода дописывается справа г нулей, что эквивалентно повышению полинома A*(z) на ,г разрядов, т. е. умножению его на гг. Затем произведение zrA*(z) делится на порождающий полином. B общем случае результат деления состоит из целого числа Q(z) и остатка R(z). Отсюда
Вычисленный остаток К(г) я используется для образования комбинации циклического кода в виде суммы
Для примера рассмотрим циклический код c n = 7, k=4, r=3 и G(z)=z3-z+1=1011. Необходимо закодировать комбинацию A*(z)=z*+1 = 1001. Тогда zA*(z)=z+z= 1001000. Для определения остатка делим z3A*(z) на G(z):
В А(z) высшие четыре разряда занимают информационные символы, а остальные при — контрольные.
Контрольные символы в циклическом коде могут быть вычислены по общим ф-лам (7.9), однако здесь определение коэффициентов
затрудняется необходимостью выполнять требования делимости А(z) на порождающий полином G(z).
Процедура декодирования принятых комбинаций также основана на использовании полиномов G(z). Если ошибок в процессе передачи не было, то деление принятой комбинации A(z) на G(z) дает целое число. При наличии корректируемых ошибок в результате деления образуется остаток, который и позволяет обнаружить или исправить ошибки.
Кодирующие и декодирующие устройства циклических кодов в большинстве случаев обладают сравнительной простотой, что следует считать одним из основных их преимуществ. Другим важным достоинством этих кодов является их способность корректировать пачки ошибок, возникающие в реальных каналах, где действуют импульсные и сосредоточенные помехи или наблюдаются замирания сигнала.
В теории кодирования весом кодовых комбинаций принято называть .количество единиц, которое они содержат. Если все комбинации кода имеют одинаковый вес, то такой код называется кодом с постоянным весом. Коды с постоянным весом относятся к классу блочных неразделимых кодов, так как здесь не представляется возможным выделить информационные и контрольные символы. Из кодов этого типа наибольшее распространение получил обнаруживающий семизначный код 3/4, каждая разрешенная комбинация которого имеет три единицы и четыре нуля. Известен также код 2/5. Примером комбинаций кода 3/4 могут служить следующие семизначные последовательности: 1011000, 0101010, 0001110 и т. д.
Декодирование принятых комбинаций сводится к определению их веса. Если он отличается от заданного, то комбинация принята с ошибкой. Этот код обнаруживает все ошибки нечетной краткости и часть ошибок четной кратности. Не обнаруживаются только так называемые ошибки смещения, сохраняющие неизменным вес комбинации. Ошибки смещения характеризуются тем, что число искаженных единиц всегда равно числу искаженных нулей. Можно показать, что вероятность необнаруженной ошибки для кода 3/4 равна:
В этом коде из общего числа комбинаций М = 27=128 разрешенными являются лишь
Код 3/4 находит применение при частотной манипуляции в каналах с селективными замираниями, где вероятность ошибок смещения невелика.
Непрерывные коды
Из непрерывных кодов, исправляющих ошибки, наиболее известны коды Финка—Хагельбаргера, в которых контрольные символы образуются путем линейной операции над двумя или более информационными символами. Принцип построения этих кодов рассмотрим на примере простейшего цепного кода. Контрольные символы в цепном коде формируются путем суммирования двух информационных символов, расположенных один относительно другого на определенном расстоянии:
Расстояние между информационными символами l=k-i определяет основные свойства кода и называется шагом сложения. Число контрольных символов при таком способе кодирования равно числу информационных символов, поэтому избыточность кода
Рис. 7.3. Образование и размещение контрольных символов в цепном коде Финка—Хагельбаргера
При декодировании из принятых информационных символов по тому же правилу (7.19) формируется вспомогательная последовательность контрольных символов е”, которая сравнивается с принятой последовательностью контрольных символов е’ (рис. 7.36). Если произошла ошибка в информационном символе, например, c’k, то это вызовет искажения сразу двух символов e”k и e”km, что и обнаружится в результате их сравнения с
Ошибка в принятом контрольном символе, например, e’k приводит к несовпадению контрольных последовательностей лишь в одном месте. Исправление такой ошибки не требуется.
Важное преимущество непрерывных кодов состоит в их способности исправлять не только одиночные ошибки, но я группы (пакеты) ошибок. Если задержка контрольных символов выбрана равной 2l, то можно показать, что максимальная длина исправляемого пакета ошибок также равна 2l при интервале между пакетами не менее 6l+1. Таким образом, возможность исправления длинных пакетов связана с увеличением шага сложения, а следовательно, и с усложнением кодирующих и декодирующих устройств.
Вопросы для повторения
1. Как могут быть классифицированы корректирующие коды?
2. Каким образом исправляются ошибки в кодах, которые только их обнаруживают?
3. В чем состоят основные принципы корректирования ошибок?
4. Дайте определение кодового расстояния.
5. При каких условиях код может обнаруживать или исправлять ошибки?
6. Как используется корректирующий код в системах со стиранием?
7. Какие характеристики определяют корректирующие способности кода?
8. Как осуществляется построение кодовых комбинаций в систематических кодах?
9. На чем основан принцип корректирования ошибок с использованием контрольного числа?
10. Объясните метод построения кода с четным числом единиц.
11. Как осуществляется процедура кодирования в семизначном коде Хэмминга?
12. Почему семизначный код 3/4 не обнаруживает ошибки смещения?
13. Каким образом производится непрерывное кодирование?
14. От чего зависит длина пакета исправляемых ошибок в коде Финка—Хагельбаргера?
Коды с обнаружением ошибок;
Код с проверкой на четность. Такой код образуется путем добавления к передаваемой комбинации, состоящей из к информационных символов неизбыточного кода, одного контрольного символа (0 или 1), так чтобы общее число единиц в передаваемой комбинации было четным. Таким образом, общее число символов n в передаваемой комбинации:
n=k+1 В первом столбце приведены примеры
передачи отдельных комбинаций пятиразрядного двоичного кода на все сочетания (k – символы).
Во втором столбце к этим комбинациям приписывается контрольный символ 1, если сумма единиц в кодовой комбинации нечетная, или 0, если сумма единиц чётная. В нашем примере длина исходной кодовой комбинации k=5 позволяет при таком числе разрядов передать N=25=32 кодовые комбинации. И хотя приписывание контрольного символа и увеличивает разрядность кода до n=6, число передаваемых комбинаций остаётся прежним. Поэтому общее число комбинаций.
Таким образом, этот код обладает избыточностью, т.к. в нашем примере вместо N=26=64 комбинаций может быть послано только N=26-1=32 комбинаций.
В кодировании избыточности определяется отношением контрольных символов m к информационным k в одном слове:
Для пятиразрядного кода с проверкой на четность И=1/5. Очевидно, что чем длиннее кодовая комбинация, тем меньше избыточность и больше экономичность кода. Добавление контрольного символа увеличивает кодовое расстояние в передаваемых комбинациях от d=1 до dmin=2.
На приемной стороне производится так называемая проверка на четность. В принятых комбинациях подсчитывается количество единиц: если оно четное, считается, что искажений не было. Тогда последний контрольный символ отбрасывается и записывается первоначальная комбинация. Очевидно, что четное число искажений такой код обнаружить не может, т.к. число единиц при этом снова будет четным.
В то же время этот код может обнаружить не только одиночные, но и тройные и пятерные ошибки и т.д. ошибки, т.е. любое возможное нечетное число ошибок, т.к. сумма единиц в принятой кодовой комбинации становится нечетной. Однако если велика вероятность появления многократных ошибок, такой код использовать нецелесообразно, т.к. несмотря на то, что можно обнаружить все слова с нечетным количеством ошибок, число кодовых комбинаций с четным числом ошибок окажется велико, и передача будет сопровождаться большими искажениями.
По изложенному принципу строится код с проверкой на нечетность.
Код с постоянным числом единиц и нулей в комбинациях (код с постоянным).
Общее число кодовых комбинаций в двоичном коде с постоянным весом равно: N=Сln= (3-9)
где l – число единиц в слове длиной n.
Наиболее употребляемыми являются пятиразрядный код с двумя единицами (N= c52=10) и саморазрядный код с тремя единицами (N= с73=35).
Эти коды более помехоустойчивые, чем код с проверкой на четность, т.к. позволяют обнаруживать большее число искажений.
Правильность принятых кодовых комбинаций в кодах определяется путем подсчета количества единиц, и если, например, в коде с c52 принято на две единицы, а в коде c73 не три единицы, то в передаче произошла ошибка. Очевидно, что код c73 может обнаружить все одиночные ошибки, т.к. в этом случае в комбинации будет либо две единицы, либо четыре. Кроме того, этот код позволяет обнаружить часть многократных ошибок ( двойные, тройные и т.п.), за исключением случаев, когда одна из единиц переходит в нуль, а один из нулей в единицу (такое двойное искажение называется смещением). При двойных смещениях (переход двух единиц в нуль и двух нулей в единицу) искажение также не обнаруживается.
Все сказанное правомочно и для кода c52.
Распределительный код.Это также разновидность кода на определенное число сочетаний. В данном случае на сочетание cln.. В любой кодовой комбинации длины n содержится только одна единица. Число кодовых комбинаций распределительного кода равно:
Кодовые комбинации при n=6 можно записать: 000001, 000010, 000100, 001000, 010000, 100000.
Сложение по модулю 2 двух комбинаций показывает, что они отличаются друг от друга на кодовое расстояние d=2.
На рисунке показаны 3 кодовые комбинации: 100, 010, 001 для кода n=3. В системах телемеханики этот код нашел широкое применение из-за простой схемной реализации.
Код с числом единиц, кратным трем.Этот код образуется путем добавления к k информационным символам двух дополнительных контрольных символов (m = 2), имеющих такие значения, чтобы сумма единиц посылаемых в линию кодовых комбинаций была кратной трем. Примеры комбинаций такого кода представлены в таблице:
На приеме полученная комбинация проверяется на кратность 3. При наличии такой кратности считается, что ошибок не было, два контрольных знака отбрасываются и записывается исходная комбинация.
Код с удвоением элементов (корреляционный код). Помехоустойчивость кода может быть повышена путем установления определенных зависимостей между элементами кодовых комбинаций. Примером такого кода является корреляционный код, который строится следующим образом.
Каждый элемент двоичного кода на все сочетания передается двумя символами, причем 1 преобразуется в 10, а 0 в 01. Вместо комбинации 1010011 передается 10011001011010.
Таким образом, корреляционный код содержит вдвое больше элементов, чем исходный (И = 1). На примере ошибка обнаруживается в том случае, если в парных элементах будут содержаться одинаковые символы, т.е. 11 или 00 (вместо 10 и 01). При правильном приеме вторые (четные) элементы отбрасываются, и остается первоначальная комбинация.
Код обладает высокой помехоустойчивостью, т.к. ошибка не обнаруживается, лишь когда два рядом стоящих различных символа, соответствующих одному элементу исходной кодовой комбинации, будут искажены так, что 1 перейдет в 0, а 0 в 1.
Инверсный код. В таком коде для увеличения помехоустойчивости к исходной n-разрядной комбинации по определенному правилу добавляется еще n – разрядов. В линию посылается удвоенное число символов. Правило образования кода следующее: если в исходной комбинации четное число единиц, то добавляемая комбинация повторяет исходную, если нечетное, то в добавляемых разрядах все 0 превращаются в 1, а 1 в 0 (т.е. комбинация инвертируется по отношению к исходной). Пример:
Прием инверсного кода осуществляется в два этапа. На первом этапе суммируются единицы в первой основной группе символов k’ .
Если принятое число информационных k’ символов число четное, то контрольные символы m инвертируются. После этого на втором этапе контрольные символы m сравниваются с символами k’, и при наличии хотя бы одного несовпадения вся переданная комбинация n = k+m элементов бракуется. Это поэлементное сравнение эквивалентно сложению по модулю 2. При отсутствии ошибок в обеих группах символов их сумма будет равна нулю:
1) 1110001 2) 1100001 3) 1110001
0000000 1101111 0001000
нет ошибок есть ошибки есть ошибки
1) – нет ошибок, сумма равна нулю.
2) – ошибка в пятом разряде, код был проинвертирован, сумма теперь ≠0.
3) – Ошибка в четвертом разряде проинвертированного кода, сумма ≠0.
Обнаруживающие возможности инверсного кода достаточно велики. Этому, в частности способствует метод построения кода. Добавление m символов приводит к увеличению минимального кодового расстояния.
Обнаружение и исправление ошибок в коде Хэмминга;
Построение кода Хэмминга
Пример: Построить макет кода Хемминга и определить значения корректирующих разрядов для кодовой комбинации k=4, X=0101.
Согласно таблице минимальное число контрольных символов r=3, при этом n = 7. Контрольный коэффициенты будут расположены на позициях 1, 2, 4. Составим макет корректирующего кода и запишем его во вторую колонку таблицы. Пользуясь таблицей для номеров проверочных коэффициентов, определим значения коэффициентов К1 К2 и К3.
Первая проверка: сумма П1+П3+П5+П7 должна быть четной, а сумма К1+0+1+1 будет четной при К =0.
Вторая проверка: сумма П2+П3+П6+П7 должна быть четной, а сумма К2+0+0+1 будет четной при К2=1.
Третья проверка: сумма П4+П5+П6+П7 должна быть четной, а сумма К3+1+0+1 будет четной при К3=0.
Окончательное значение искомой комбинации корректирующего кода записываем в третью колонку таблицы макета кода.
Пример . Предположим, в канале связи под действием помех произошло искажение и вместо 0100101 было принято 01001(1)1.
Решение: Для обнаружения ошибки производят уже знакомые нам проверки на четность.
Первая проверка: сумма П1+П3+П5+П7 = 0+0+1+1 четна. В младший разряд номера ошибочной позиции запишем 0.
Вторая проверка: сумма П2+П3+П6+П7 = 1+0+1+1 нечетна. Во второй разряд номера ошибочной позиции запишем 1
Третья проверка: сумма П4+П5+П6+П7 = 0+1+1+1 нечетна. В третий разряд номера ошибочной позиции запишем 1. Номер ошибочной позиции 110= 6. Следовательно, символ шестой позиции следует изменить на обратный, и получим правильную кодовую комбинацию.
Код, исправляющий одиночную и обнаруживающий двойную ошибки
Если по изложенным выше правилам строить корректирующий код с обнаружением и исправлением одиночной ошибки для равномерного двоичного кода, то первые 16 кодовых комбинаций будут иметь вид, показанный в таблице. Такой код может быть использован для построения кода с исправлением одиночной ошибки и обнаружением двойной.
Для этого, кроме указанных выше проверок по контрольным позициям, следует провести еще одну проверку на четность для всей строки в целом. Чтобы осуществить такую проверку, следует к каждой строке кода добавить контрольные символы, записанные в дополнительной колонке (таблица, колонка 8). Тогда в случае одной ошибки проверки по позициям укажут номер ошибочной позиции, а проверка на четность – на наличие ошибки. Если проверки позиций укажут на наличие ошибки, а проверка на четность не фиксирует ее, значит в кодовой комбинации две ошибки.