Hamming-code

Пусть — булевое множество. Рассмотрим и расстояние Хемминга . Пусть — разделяемый код постоянной длины. Обозначим .

Мы знаем, что биты 0 и 1 соответствуют двум разным диапазонам аналоговых напряжений. Таким образом, во время передачи двоичных данных из одной системы в другую, шум также может быть добавлен. Из-за этого могут быть ошибки в полученных данных в другой системе.

Это означает, что бит 0 может измениться на 1 или бит 1 может измениться на 0. Мы не можем избежать помех от шума. Но мы можем сначала получить исходные данные, обнаружив, присутствуют ли какие-либо ошибки, а затем исправив эти ошибки. Для этой цели мы можем использовать следующие коды.

  • Коды обнаружения ошибок
  • Коды исправления ошибок

Коды обнаружения ошибок – используются для обнаружения ошибок, присутствующих в принятых данных (битовом потоке). Эти коды содержат некоторые биты, которые включены (добавлены) в исходный поток битов. Эти коды обнаруживают ошибку, если она произошла во время передачи исходных данных (потока битов). Пример – код четности, код Хэмминга.

Коды исправления ошибок – используются для исправления ошибок, присутствующих в полученных данных (битовом потоке), чтобы мы получили исходные данные. Коды исправления ошибок также используют аналогичную стратегию кодов обнаружения ошибок. Пример – код Хэмминга.

Поэтому, чтобы обнаружить и исправить ошибки, дополнительные биты добавляются к битам данных во время передачи.

Назначение помехоустойчивого кодирования – защита информации от помех и ошибок при передаче и хранении информации. Помехоустойчивое кодирование необходимо для устранения ошибок, которые возникают в процессе передачи, хранения информации. При передачи информации по каналу связи возникают помехи, ошибки и небольшая часть информации теряется.

Hamming-code

Без использования помехоустойчивого кодирования было бы невозможно передавать большие объемы информации (файлы), т.к. в любой системе передачи и хранении информации неизбежно возникают ошибки.

Рассмотрим пример CD диска. Там информация хранится прямо на поверхности диска, в углублениях, из-за того, что все дорожки на поверхности, часто диск хватаем пальцами, елозим по столу и из-за этого без помехоустойчивого кодирования, информацию извлечь не получится.

Hamming-code

Использование кодирования позволяет извлекать информацию без потерь даже с поврежденного CD/DVD диска, когда какая либо область становится недоступной для считывания.

В зависимости от того, используется в системе обнаружение или исправление ошибок с помощью помехоустойчивого кода, различают следующие варианты:

  • запрос повторной передачи (Automatic Repeat reQuest, ARQ): с помощью помехоустойчивого кода выполняется только обнаружение ошибок, при их наличии производится запрос на повторную передачу пакета данных;
  • прямое исправление ошибок (Forward Error Correction, FEC): производится декодирование помехоустойчивого кода, т. е. исправление ошибок с его помощью.

Возможен также гибридный вариант, чтобы лишний раз не гонять информацию по каналу связи, например получили пакет информации, попробовали его исправить, и если не смогли исправить, тогда отправляется запрос на повторную передачу.

Код Хэмминга

Код Хэ́мминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Построен применительно к двоичной системе счисления. Позволяет исправлять одиночную ошибку (ошибка в одном бите) и находить двойную.

Алгоритм кодирования

Добавим к таблице 5 строк (по количеству контрольных битов), в которые поместим матрицу преобразования. Каждая строка будет соответствовать одному контрольному биту (нулевой контрольный бит — верхняя строка, четвёртый — нижняя), каждый столбец — одному биту кодируемого слова. В каждом столбце матрицы преобразования поместим двоичный номер этого столбца, причём порядок следования битов будет обратный — младший бит расположим в верхней строке, старший — в нижней. Например, в третьем столбце матрицы будут стоять числа 11000, что соответствует двоичной записи числа три: 00011.

В правой части таблицы мы оставили пустым один столбец, в который поместим результаты вычислений контрольных битов. Вычисление контрольных битов производим следующим образом. Берём одну из строк матрицы преобразования (например, r0) и находим её скалярное произведение с кодовым словом, то есть перемножаем соответствующие биты обеих строк и находим сумму произведений. Если сумма получилась больше единицы, находим остаток от его деления на 2. Иными словами, мы подсчитываем сколько раз в кодовом слове и соответствующей строке матрицы в одинаковых позициях стоят единицы и берём это число по модулю 2.

Например, для строки r0:

r0 = (1·0+0·0+1·1+0·0+1·0+0·0+1·1+0·0+1·0+0·0+1·1+0·0+1·1+0·1+1·1+0·0+1·0+0·0+1·0+0·1) mod 2 = 5 mod 2 = 1.

Полученные контрольные биты вставляем в кодовое слово вместо стоявших там ранее нулей. По аналогии находим проверочные биты в остальных строках. Кодирование по Хэммингу завершено. Полученное кодовое слово — 11110010001011110001.

Алгоритм декодирования

Алгоритм декодирования по Хэммингу абсолютно идентичен алгоритму кодирования. Матрица преобразования соответствующей размерности умножается на матрицу-столбец кодового слова и каждый элемент полученной матрицы-столбца берётся по модулю 2. Полученная матрица-столбец получила название «матрица синдромов». Легко проверить, что кодовое слово, сформированное в соответствии с алгоритмом, описанным в предыдущем разделе, всегда даёт нулевую матрицу синдромов.

Матрица синдромов становится ненулевой, если в результате ошибки (например, при передаче слова по линии связи с шумами) один из битов исходного слова изменил своё значение. Предположим для примера, что в кодовом слове, полученном в предыдущем разделе, шестой бит изменил своё значение с нуля на единицу (на рисунке обозначено красным цветом). Тогда получим следующую матрицу синдромов.

Заметим, что при однократной ошибке матрица синдромов всегда представляет собой двоичную запись (младший разряд в верхней строке) номера позиции, в которой произошла ошибка. В приведённом примере матрица синдромов (01100) соответствует двоичному числу 00110 или десятичному 6, откуда следует, что ошибка произошла в шестом бите.

Результат работы программы

Hamming-code

Полученный мною опыт

  • Работа с C#;
  • Имею представление, что такое самокорректирующийся код;
  • Изучил алгоритм кодирования и декодирования кодом Хэмминга;
  • Работа с одномерными и двумерными массивами;

Код Хэмминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Позволяет устранить одну ошибку и находить двойную.

Читайте также:  КОДЫ ОШИБОК ЛОДОЧНОГО МОТОРА СУЗУКИ ДФ 140

Hamming-code

Код Хэмминга (7,4) — 4 бита на входе кодера и 7 на выходе, следовательно 3 проверочных бита. С 1 по 4 информационные биты, с 6 по 7 проверочные (см. табл. выше). Пятый проверочный бит y5, это сумма по модулю два 1-3 информационных бит. Сумма по модулю 2 это вычисление бита чётности.

Декодирование кода Хэмминга

Декодирование происходит через вычисление синдрома по выражениям:

Hamming-code

Синдром это сложение бит по модулю два. Если синдром не нулевой, то исправление ошибки происходит по таблице декодирования:

Hamming-code

Расстояние Хэмминга

Hamming-code

Кратность исправляемых ошибок и обнаруживаемых, связано минимальным расстоянием Хэмминга. Любой помехоустойчивый код добавляет избыточность с целью увеличить минимальное расстояние Хэмминга. Именно минимальное расстояние Хэмминга определяет помехоустойчивость.

Исправление ошибок в помехоустойчивом кодировании

Любое помехоустойчивое кодирование добавляет избыточность, за счет чего и появляется возможность восстановить информацию при частичной потере данных в канале связи (носителе информации при хранении). В случае эффективного кодирования убирали избыточность, а в помехоустойчивом кодировании добавляется контролируемая избыточность.

Простейший пример – мажоритарный метод, он же многократная передача, в котором один символ передается многократно, а на приемной стороне принимается решение о том символе, количество которых больше.

Hamming-code

Но из картинки справа, видно, что второй символ (B1 и C1) они отличаются друг от друга, хотя должны были быть одинаковыми. То что они отличаются, говорит о том, что есть ошибка.

Необходимо найти ошибку с помощью голосования, каких символов больше, символов В или символов С? Явно символов В больше, чем символов С, соответственно принимаем решение, что передавался символ В, а символ С ошибочный.

Для исправления ошибок нужно, как минимум 3 пакета информации, для обнаружения, как минимум 2 пакета информации.

Код паритета

Легко включить (добавить) один бит четности либо слева от MSB, либо справа от LSB исходного битового потока. Существует два типа кодов четности, а именно четный код четности и нечетный код четности, в зависимости от типа выбранной четности.

Значение четного бита должно быть равно нулю, если в двоичном коде присутствует четное количество единиц. В противном случае он должен быть один. Таким образом, четное число единиц присутствует в четном коде четности . Четный код четности содержит биты данных и четный бит четности.

В следующей таблице приведены коды четности, соответствующие каждому 3-битному двоичному коду. Здесь бит четности включен справа от LSB двоичного кода.

Здесь число битов, присутствующих в четных кодах четности, равно 4. Таким образом, возможное четное число единиц в этих четных кодах четности равно 0, 2 и 4.

  • Если другая система получает один из этих четных кодов четности, то в полученных данных нет ошибки. Биты, отличные от четного бита, совпадают с битами двоичного кода.
  • Если другая система получит коды, отличные от четных, то в полученных данных возникнет ошибка (и). В этом случае мы не можем предсказать исходный двоичный код, потому что мы не знаем битовую позицию (ы) ошибки.

Если другая система получает один из этих четных кодов четности, то в полученных данных нет ошибки. Биты, отличные от четного бита, совпадают с битами двоичного кода.

Если другая система получит коды, отличные от четных, то в полученных данных возникнет ошибка (и). В этом случае мы не можем предсказать исходный двоичный код, потому что мы не знаем битовую позицию (ы) ошибки.

Поэтому четный бит четности полезен только для обнаружения ошибки в принятом коде четности. Но недостаточно исправить ошибку.

Код нечетного паритета

Значение нечетного бита четности должно быть нулевым, если в двоичном коде присутствует нечетное число единиц. В противном случае, он должен быть один. Так что нечетное количество единиц присутствует в нечетном коде четности . Нечетный код четности содержит биты данных и нечетный бит четности.

В следующей таблице показаны нечетные коды четности, соответствующие каждому 3-битному двоичному коду. Здесь нечетный бит четности включен справа от LSB двоичного кода.

Здесь число битов, присутствующих в нечетных кодах четности, равно 4. Таким образом, возможное нечетное число единиц в этих нечетных кодах четности равно 1 и 3.

  • Если другая система получает один из этих нечетных кодов четности, то в полученных данных нет ошибки. Биты, отличные от нечетного бита четности, совпадают с битами двоичного кода.
  • Если другая система получает не четные коды четности, то в полученных данных есть ошибка (и). В этом случае мы не можем предсказать исходный двоичный код, потому что мы не знаем битовую позицию (ы) ошибки.

Если другая система получает один из этих нечетных кодов четности, то в полученных данных нет ошибки. Биты, отличные от нечетного бита четности, совпадают с битами двоичного кода.

Если другая система получает не четные коды четности, то в полученных данных есть ошибка (и). В этом случае мы не можем предсказать исходный двоичный код, потому что мы не знаем битовую позицию (ы) ошибки.

Следовательно, нечетный бит четности полезен только для обнаружения ошибки в принятом коде четности. Но недостаточно исправить ошибку.

Булев шар

Можно сформулировать свойство кодов, исправляющих ошибок, в терминах булевых шаров.

Классификация помехоустойчивых кодов

  • Непрерывные — процесс кодирования и декодирования носит непрерывный характер. Сверточный код является частным случаем непрерывного кода. На вход кодера поступил один символ, соответственно, появилось несколько на выходе, т.е. на каждый входной символ формируется несколько выходных, так как добавляется избыточность.
  • Блочные (Блоковые) — процесс кодирования и декодирования осуществляется по блокам. С точки зрения понимания работы, блочный код проще, разбиваем код на блоки и каждый блок кодируется в отдельности.

По используемому алфавиту:

  • Двоичные. Оперируют битами.
  • Не двоичные (код Рида-Соломона). Оперируют более размерными символами. Если изначально информация двоичная, нужно эти биты превратить в символы. Например, есть последовательность 110 110 010 100 и нужно их преобразовать из двоичных символов в не двоичные, берем группы по 3 бита — это будет один символ, 6, 6, 2, 4 — с этими не двоичными символами работают не двоичные помехоустойчивые коды.
Читайте также:  Ошибка 101 мегафон

Блочные коды делятся на

  • Систематические  — отдельно не измененные информационные символы, отдельно проверочные символы. Если на входе кодера присутствует блок из k символов, и в процессе кодирования сформировали еще какое-то количество проверочных символов и проверочные символы ставим рядом к информационным в конец или в начало. Выходной блок на выходе кодера будет состоять из информационных символов и проверочных.
  • Несистематические — символы исходного сообщения в явном виде не присутствуют. На вход пришел блок k, на выходе получили блок размером n, блок на выходе кодера не будет содержать в себе исходных данных.

В случае систематических кодов, выходной блок в явном виде содержит в себе, то что пришло на вход, а в случае несистематического кода, глядя на выходной блок нельзя понять что было на входе.

Hamming-code

Hamming-code

Помехоустойчивые коды

Современные коды более эффективны по сравнению с рассматриваемыми примерами. В таблице ниже приведены Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)

Hamming-code

Из таблицы видим, что там один класс кода БЧХ, но разные параметры n и k.

  • n — количество символов на входе.
  • k — количество символов на выходе.
  • t — кратность исправляемых ошибок.
  • Отношение k/n — скорость кода.
  • G (энергетический выигрыш) — величина, показывающая на сколько можно уменьшить отношение сигнал/шум (Eb/No) для обеспечения заданной вероятности ошибки.

Несмотря на то, что скорость кода близка, количество исправляемых ошибок может быть разное. Количество исправляемых ошибок зависит от той избыточности, которую добавим и от размера блока. Чем больше блок, тем больше ошибок он исправляет, даже при той же самой избыточности.

Пример: помехоустойчивые коды и двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн). На графике зависимость отношения сигнал шум (Eb/No) от вероятности ошибки. За счет применения помехоустойчивых кодов улучшается помехоустойчивость.

Hamming-code

Из графика видим, код Хэмминга (7,4) на сколько увеличилась помехоустойчивость? Всего на пол Дб это мало, если применить код БЧХ (127, 64) выиграем порядка 4 дБ, это хороший показатель.

Компромиссы при использовании помехоустойчивых кодов

Чем расплачиваемся за помехоустойчивые коды? Добавили избыточность, соответственно эту избыточность тоже нужно передавать. Нужно: увеличивать пропускную способность канала связи, либо увеличивать длительность передачи.

Hamming-code

  • Достоверность vs полоса пропускания.
  • Мощность vs полоса пропускания.
  • Скорость передачи данных vs полоса пропускания

Необходимость чередования (перемежения)

Все помехоустойчивые коды могут исправлять только ограниченное количество ошибок t. Однако в реальных системах связи часто возникают ситуации сгруппированных ошибок, когда в течение непродолжительного времени количество ошибок превышает t.

Например, в канале связи шумов мало, все передается хорошо, ошибки возникают редко, но вдруг возникла импульсная помеха или замирания, которые повредили на некоторое время процесс передачи, и потерялся большой кусок информации. В среднем на блок приходится одна, две ошибки, а в нашем примере потерялся целый блок, включая информационные и проверочные биты. Сможет ли помехоустойчивый код исправить такую ошибку? Эта проблема решаема за счет перемежения.

Пример блочного перемежения:

Hamming-code

На картинке, всего 5 блоков (с 1 по 25). Код работает исправляя ошибки в рамках одного блока (если в одном блоке 1 ошибка, код его исправит, а если две то нет). В канал связи отдается информация не последовательно, а в перемешку. На выходе кодера сформировались 5 блоков и эти 5 блоков будем отдавать не по очереди а в перемешку. Записали всё по строкам, но считывать будем, чтобы отправлять в канал связи, по столбцам. Информация в блоках перемешалась. В канале связи возникла ошибка и мы потеряли большой кусок. В процессе приема, мы опять составляем таблицу, записываем по столбцам, но считываем по строкам. За счет того, что мы перемешали большое количество блоков между собой, групповая ошибка равномерно распределится по блокам.

Минимальное значение «k», для которого следующее соотношение является правильным (действительным), является не чем иным, как требуемым количеством битов четности.

«n» – количество бит в двоичном коде (информация)

‘k’ – количество бит четности

Следовательно, количество битов в коде Хэмминга равно n + k.

Исходя из требований, мы можем использовать четную или нечетную четность при формировании кода Хемминга. Но тот же метод контроля четности следует использовать для того, чтобы определить, присутствует ли какая-либо ошибка в полученных данных.

Выполните эту процедуру для поиска битов четности .

  • Найдите значение p 1 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 3 , b 5 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 0 .
  • Найдите значение p 2 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 3 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 1 .
  • Найдите значение p 3 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 5 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 2 .
  • Аналогично найдите другие значения битов четности.

Найдите значение p 1 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 3 , b 5 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 0 .

Найдите значение p 2 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 3 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 1 .

Найдите значение p 3 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 5 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 2 .

Читайте также:  Check fsrar ошибка ввода кода с картинки

Аналогично найдите другие значения битов четности.

Выполните эту процедуру для поиска контрольных битов .

  • Найдите значение c 1 , основанное на количестве единиц, присутствующих в битовых позициях b 1 , b 3 , b 5 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 0 .
  • Найдите значение c 2 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 2 , b 3 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 1 .
  • Найдите значение c 3 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 4 , b 5 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 2 .
  • Аналогично найдите другие значения контрольных битов.

Найдите значение c 1 , основанное на количестве единиц, присутствующих в битовых позициях b 1 , b 3 , b 5 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 0 .

Найдите значение c 2 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 2 , b 3 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 1 .

Найдите значение c 3 , основанное на количестве единиц, присутствующих в позициях битов b 4 , b 5 , b 6 , b 7 и так далее. Все эти битовые позиции (суффиксы) в их эквивалентном двоичном файле имеют «1» в значении места 2 2 .

Аналогично найдите другие значения контрольных битов.

Десятичный эквивалент контрольных битов в полученных данных дает значение позиции бита, где присутствует ошибка. Просто добавьте значение, присутствующее в этой позиции бита. Поэтому мы получим оригинальный двоичный код после удаления битов четности.

Найдем код Хемминга для двоичного кода: d 4 d 3 d 2 d 1 = 1000. Рассмотрим четные биты четности.

Мы можем найти необходимое количество бит четности, используя следующее математическое соотношение.

Подставим n = 4 в вышеприведенном математическом соотношении.

Минимальное значение k, удовлетворяющее указанному выше соотношению, равно 3. Следовательно, нам требуется 3 бита четности p 1 , p 2 и p 3 . Следовательно, количество битов в коде Хэмминга будет равно 7, поскольку в двоичном коде 4 бита и 3 бита четности. Мы должны поместить биты четности и биты двоичного кода в код Хэмминга, как показано ниже.

7-битный код Хэмминга :

Подставляя биты двоичного кода, код Хэмминга будет . Теперь давайте найдем биты четности.

Подставляя эти биты четности, код Хэмминга будет иметь значение .

В приведенном выше примере мы получили код Хэмминга в виде . Теперь давайте найдем позицию ошибки, когда полученный код равен .

Теперь давайте найдем контрольные биты.

Десятичное значение контрольных битов дает позицию ошибки в полученном коде Хэмминга.

Следовательно, ошибка присутствует в третьем бите (b 3 ) кода Хэмминга. Просто добавьте значение, присутствующее в этом бите, и удалите биты четности, чтобы получить исходный двоичный код.

Параметры помехоустойчивого кодирования

скорость кода R характеризует долю информационных («полезных») данных в сообщении и определяется выражением: R=k/n=k/m+k

  • где n – количество символов закодированного сообщения (результата кодирования);
  • m – количество проверочных символов, добавляемых при кодировании;
  • k – количество информационных символов.

Параметры n и k часто приводят вместе с наименованием кода для его однозначной идентификации. Например, код Хэмминга (7,4) значит, что на вход кодера приходит 4 символа, на выходе 7 символов,  Рида-Соломона (15, 11) и т.д.

кратность обнаруживаемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может обнаружить.

кратность исправляемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может исправить (обозначается буквой t).

Граница Хэмминга, граница Гильберта

Граница Хэмминга даёт верхнюю оценку на скорость передачи сообщений в канале с ошибками.
Прологарифмировав неравенство, получим .
Здесь это плотность кодирования, количество информации в одном символе алфавита на размер кода.
Таким образом, при кодировании с защитой от ошибок падает скорость передачи.

Аналогично составляется оценка в другую сторону.

Примером кода для случая является код Хэмминга.

Определение и устранение ошибок в общем случае

Пусть — исходный алфавит, — кодирование,

— расстояние Хэмминга между двумя кодами.

Код, может исправлять и обнаруживать ошибок. Действительно, при любом натуральном количестве допустимых ошибок любоое кодовое слово образует вокруг себя проколотый шар таких строк , что . Если этот шар не содержит других кодов (что выполняется при ) , то можно утверждать, что если в него попадает строка, то она ошибочна. Если шары всех кодов не пересекаются (что выполняется при ), то попавшую в шар строку можно считать ошибочной и исправить на центр шара — строку .

Контроль чётности

Самый простой метод помехоустойчивого кодирования это добавление одного бита четности. Есть некое информационное сообщение, состоящее из 8 бит, добавим девятый бит.

Если принятый бит чётности не совпадает с рассчитанным битом чётности, то считается, что произошла ошибка.

Под кратностью понимается, всевозможные ошибки, которые можно обнаружить. В этом случае, кратность исправляемых ошибок 0, так как мы не можем исправить ошибки, а кратность обнаруживаемых 1.

Есть последовательность 0 и 1, и из этой последовательности составим прямоугольную матрицу размера 4 на 4. Затем для каждой строки и столбца посчитаем бит четности.

Прямоугольный код – код с контролем четности, позволяющий исправить одну ошибку:

Hamming-code

И если в процессе передачи информации допустим ошибку (ошибка нолик вместо единицы, желтым цветом), начинаем делать проверку. Нашли ошибку во втором столбце, третьей строке по координатам. Чтобы исправить ошибку, просто инвертируем 1 в 0, тем самым ошибка исправляется.

Этот прямоугольный код исправляет все одно-битные ошибки, но не все двух-битные и трех-битные.

Рассчитаем скорость кода для:

Здесь R=16/24=0,66 (картинка выше, двадцать пятую единичку (бит четности) не учитываем)

Более эффективный с точки зрения скорости является первый вариант, но зато мы не можем с помощью него исправлять ошибки, а с помощью прямоугольного кода можно. Сейчас на практике прямоугольный код не используется, но логика работы многих помехоустойчивых кодов основана именно на прямоугольном коде.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *